[Art & Science] 用python绘制3D花

引言

选修了一门“艺术与科学实验室”的课，第三次作业是在自然中发现数学规律，并将其通过技术实现出来。在生活中花随处可见，并且具有极高的美感和艺术价值。对于花的绘制用数学方式实现出来使我十分激动。学校里花的原图一张：
在这里插入图片描述

python 源代码

此代码借来源此CSDN博客

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from matplotlib import cm
from matplotlib.ticker import LinearLocator
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

fig = plt.figure()
ax = fig.gca(projection='3d')
[x, t] = np.meshgrid(np.array(range(25)) / 24.0, np.arange(0, 575.5, 0.5) / 575 * 17 * np.pi - 2 * np.pi)
p = (np.pi / 2) * np.exp(-t / (8 * np.pi))
u = 1 - (1 - np.mod(3.6 * t, 2 * np.pi) / np.pi) ** 4 / 2
y = 2 * (x ** 2 - x) ** 2 * np.sin(p)
r = u * (x * np.sin(p) + y * np.cos(p))
h = u * (x * np.cos(p) - y * np.sin(p))
surf = ax.plot_surface(r * np.cos(t), r * np.sin(t), h, rstride=1, cstride=1,
                       cmap=cm.gist_rainbow_r, linewidth=0, antialiased=True)
plt.show()

思路解读

思路零：3D!

对于自然中的植物，我们很难将其抽象为二维世界中的存在物，不真实。故我们使用python的matplotlib绘制3D图像。这是整体的效果图：

可见该用彩虹色绘制出来的花非常接近现实生活中的花，比传统中2D的花要真实很多，以下是一些2D绘制的花：(借鉴网上的某些代码)

思路一：中心旋转——center

花的花瓣总是围绕中心轴生长，我们不妨将花看做一个中心旋转3D图。在此基础上建立柱状极坐标系。
在这个极坐标系中，图像上的每个点有三个自由度(r,t,h)（其中t表示theta）

思路二：旋进——radius & height

观察花瓣生长规律，我们发现，其外边缘线在一条旋转内缩的曲线上。这条曲线里中心轴的距离r逐渐缩短，距离地平面h逐渐变高。且该曲线大概符合以下公式：

p = (np.pi / 2) * np.exp(-t / (8 * np.pi))
r = np.sin(p) 
h = np.cos(p)

p是一个特殊的函数，只需要设置成关于t单调递减

思路三：花瓣状——pattern

花瓣状乘类似于水滴状关于中心轴旋转。因此r和h都是关于模式u的函数

u = 1 - (1 - np.mod(3.6 * t, 2 * np.pi) / np.pi) ** 4 / 2
r = u * np.sin(p) 
h = u * np.cos(p)

如图可见r和t都呈花瓣的波形，而且做到了同步进行

思路四：下凸——convex

为了图像更加真实，我们选择将h和r进行修正，添加一个修正项y，使花瓣的形态向下凸，更接近真实生活：

y = 2 * (x ** 2 - x) ** 2 * np.sin(p)
r = u * (x * np.sin(p) + y * np.cos(p))
h = u * (x * np.cos(p) - y * np.sin(p))

对比y=0:

和经过修正后的图像

显然修正后图像的层次和立体感更强，花瓣有向内部卷曲的趋势

思路五：以点逼面

实际上我们画出来的不是花瓣的平面，而是一个个离散的点（总共25*1150 = 28750个），经过python的plot_surface逼近花瓣的面状

[x, t] = np.meshgrid(np.array(range(25)) / 24.0, 
    np.arange(0, 575.5, 0.5) / 575 * 17 * np.pi - 2 * np.pi)

x,t是两个自变量，相当于参数方程中两个参数，最终表示为三维坐标系下的某点(rcos(θ),rsin(θ),h)，x是在[0,25)上取的25个点，t是-2*pi到15*pi上取的1150个点，在3D图像中共计28750个点，绘制出的散点图通过python自带的函数连成曲面状。

其他种类的花

分析了用python绘制3D花的原理，绘制了一个彩色的花。里面提到了6个idea(3D, center, radius&height, pattern, convex和approach)，是时候应用这些原理，绘制一些现实中不同品种的的花（为原来的花继承一些花的子类），添加细节去丰富它。

玫瑰花

原始图片
特征：①叶片较宽，大概一片花瓣围绕中心轴的角度120°；②花瓣较往中心靠拢，故初相位可以尝试加上4pi到8pi之间；③边缘并不是完美的弧线，而是添加了些许扰动；④颜色修改成红色
代码修改

# 省略了头文件，可以在之前的博客里看到
fig = plt.figure()
ax = fig.gca(projection='3d')
# 将相位向后移动了6*pi
[x, t] = np.meshgrid(np.array(range(25)) / 24.0, np.arange(0, 575.5, 0.5) / 575 * 20 * np.pi + 4*np.pi)
p = (np.pi / 2) * np.exp(-t / (8 * np.pi))
# 添加边缘扰动
change = np.sin(15*t)/150
# 将t的参数减少，使花瓣的角度变大
u = 1 - (1 - np.mod(3.3 * t, 2 * np.pi) / np.pi) ** 4 / 2 + change
y = 2 * (x ** 2 - x) ** 2 * np.sin(p)
r = u * (x * np.sin(p) + y * np.cos(p))
h = u * (x * np.cos(p) - y * np.sin(p))
c= cm.get_cmap('Reds')
surf = ax.plot_surface(r * np.cos(t), r * np.sin(t), h, rstride=1, cstride=1,
                       cmap= c, linewidth=0, antialiased=True)
plt.show()

新图
边缘扰动之前：

边缘扰动之后：

看出来边缘稍微的扰动使画面更逼真而立体

月季花

原始图片
特征：①花瓣很多很密，可以将t的周期沿得更长，初相位更早；②颜色为粉色；③扰动的周期更长，扰动更剧烈；④半径比普通的花长
代码：

fig = plt.figure()
ax = fig.gca(projection='3d')
[x, t] = np.meshgrid(np.array(range(25)) / 24.0, np.arange(0, 575.5, 0.5) / 575 * 30 * np.pi - 4*np.pi)
p = (np.pi / 2) * np.exp(-t / (8 * np.pi))
change = np.sin(20*t)/50
u = 1 - (1 - np.mod(3.3 * t, 2 * np.pi) / np.pi) ** 4 / 2 + change
y = 2 * (x ** 2 - x) ** 2 * np.sin(p)
r = u * (x * np.sin(p) + y * np.cos(p)) * 1.5
h = u * (x * np.cos(p) - y * np.sin(p))
c= cm.get_cmap('magma')
surf = ax.plot_surface(r * np.cos(t), r * np.sin(t), h, rstride=1, cstride=1,
                       cmap= c, linewidth=0, antialiased=True)
plt.show()

图像

桃花

原始图片：
特征：①花瓣很小较窄，可以将t的周期变得更短，初相位更早；②颜色为淡粉色；③扰动的周期短，扰动更剧烈
代码：

fig = plt.figure()
ax = fig.gca(projection='3d')
[x, t] = np.meshgrid(np.array(range(25)) / 24.0, np.arange(0, 575.5, 0.5) / 575 * 6 * np.pi - 4*np.pi)
p = (np.pi / 2) * np.exp(-t / (8 * np.pi))
change = np.sin(10*t)/20
u = 1 - (1 - np.mod(5.2 * t, 2 * np.pi) / np.pi) ** 4 / 2 + change
y = 2 * (x ** 2 - x) ** 2 * np.sin(p)
r = u * (x * np.sin(p) + y * np.cos(p)) * 1.5
h = u * (x * np.cos(p) - y * np.sin(p))
c= cm.get_cmap('spring_r')
surf = ax.plot_surface(r * np.cos(t), r * np.sin(t), h, rstride=1, cstride=1,
                       cmap= c, linewidth=0, antialiased=True)
plt.show()

图像

由于时间关系，只能草草做了3个品种的花，但以python的强大功能，我们还能尝试更多，更精妙的算法。不仅仅在颜色、扰动、大小上变化。我们还能改变花的形态，甚至创造出一些生活中本来不存在的花，更加充分感受科学与艺术的结合。

引言